欧拉恒等式证明（四个反直觉的数学真理）

在数学中，我们通过证明或已有的结果推导出我们并不完全理解的东西。下面我用四个简单而有趣的例子来解释。

第一个，欧拉恒等式

这就是众所周知的欧拉恒等式。对我来说，数学最有趣的地方是发现我们并不完全理解的事物。欧拉恒等式是其中之一。

对于超越数（比如，e和π包含在这个公式中），我们发现它经常出现在我们的现实生活中。比如计算半衰期，或者计算房子的利率，或者计算圆周与直径的比率。我们知道数字1的必要性，当它与自身相减时，结果是0。有了0，1，和- 1的平方根的定义，再加上我们关于唯一性的规则公理，我们就可以构造出整个数字系统。

所有的知识都在这个方程里。但很多人并不真正理解它，想要深入了解欧拉恒等式，可以阅读我的这篇文章：数学界最著名、最伟大、最美丽的公式之一——欧拉公式

这有点像重力，因为牛顿知道有一个力作用在从树上落下的苹果上。但是，直到今天，我们仍然对它到底是什么有争议。

斯坦福大学的基思·德夫林教授（1947-）这样评价欧拉恒等式：

欧拉恒等式就像莎士比亚的十四行诗捕捉到了爱的精髓，也像一幅画展现了不仅仅是肤浅的人体之美，它触及到了存在的最深处。

哲学家、数学家、哈佛教授本杰明·皮尔斯（Benjamin Peirce）也说过：

这绝对是荒谬的，我们无法理解它，也不知道它意味着什么，但我们已经证明了它，因此我们知道它一定是事实。

这就是欧拉恒等式的核心。事实上，它是很多数学的核心（对证明工作的严格要求，完成和组织正确的逻辑）。但是，即使有了所有的逻辑思维和精准性，它仍然缺乏真正的意义。就像万有引力一样，欧拉恒等式确实存在。它无疑是真理。

我们使用这个恒等式中涉及的元素，让它们出现在许多应用程序中。我们发现它们存在于与纯数学相去甚远的学科中。我们知道它们对我们所知的现实进行了高度精确的解释。它们几乎对我们遇到的所有东西进行建模。它们改善了绝大多数人的生活却没有得到社会的认可。它们是世界上看不见的真理。你不需要了解他们，就能从中获益。

但是，如果有人问我，为什么是欧拉恒等式，我不能告诉你。这就是它的有趣之处。这是一个如此强大的等式，将数学中如此多的元素联系在一起，但我们并没有真正理解它。

第二个，复利

关于复利最著名的话莫过于爱因斯坦的：

宇宙间最大的能量是复利，世界的第八大奇迹是复利。

还记得我们在欧拉恒等式中看到的e吗？它与很多东西都有联系，但让我们从它的发现开始，然后看看它的怪异之处。

1683年，雅各布·伯努利提出了一个关于复利的问题：

一个账户从$1.00开始，每年支付100%的利息。如果一年计息一次，在年底，这个账户在年底的余额将是2美元。如果一年计息n次（每次利率为1/n），年底账号余额是多少？

意思是，如果一年计息2次，每6个月你可以得到50%的收益。也就是说，年底有：

复利n次的复利公式为：

一美元本金，100%利率的复利公式。

n是复利的次数。换句话说，你会在一段时间内把100%的利息分成你想要的次数。例如，在这个案例中，复利两次后，获得的本金加利息为：

对于伯努利来说，有趣的是如何在n很大的情况下解答这个问题。

n = 12时，得到2.613035美元。n = 52时，得到2.692597美元。n = 365时，得到2.714567美元。

然后，对于n为无穷大时，得到：

2.71828182845904523536028747135266249775724709369995……

无穷大与数学有着奇怪的关系。一方面，它使人类有能力更深入地了解世界的内部运作。

另一方面，它回避了一个问题，为什么？

另一个超越数也同样通过“无限”的使用而出现：

π的定义

其中C是周长，d是直径。

但是我们是怎么想到这个的呢？为什么这个形状是圆的？圆到底是什么？

从一个正方形开始，不断地增加边的数目。一直到无穷大，得到3.1415926……

所以，当你看一个圆的时候，你实际上是在看一个有无数条边的物体。

如果我们重新审视对欧拉数（e），我们会发现更多令人挠头的问题。比如：

e^x的导数和积分

我们用伯努利复利的例子展开取幂。也就是说，我们把e看作一个超越常数，它是指数函数的底。而且，即使作为一个函数，它也有神奇之处。

指数函数的定义几乎每个人都遇到过。你在中学的时候就会学到：

对其求导，得到：

从指数函数中可以看出它们增长的速度有多快。速度和加速度是取幂的核心。

当我们对它求导时：

我们需要找到常数b，使ln（b）= 1。我们要找出一个常数，使增长率成为原始函数。这意味着对原始函数n次求导，结果仍然是原始函数：

常数e是比例常数为1的唯一底数，使以e为底数的指数函数的导数等于它自己。

对超越常数e的处理是很奇怪的。与其他指数函数不同的是，它在各个领域都有很多推导，有着同样复杂的解释和含义。

这里：

这个极限涉及伯努利方程和复利方程（对于x = 1的特殊情况，得到e）。

毫无疑问，这些特殊的无理数（e和π），给了我们对世界的本质以及物质和物体的行为的深刻理解。从声波，原子和亚原子行为到生物，化学和物理等各个领域，这些特殊数字都扮演着非常重要的角色。这一切都来自于一个最初想要回答一个简单复利问题的人。

复利的简单图表。

这些数字（e和π）是通过人类的好奇心和意志力发现的。今天我们对这两个数字的了解和以往一样多。实际上，每一个都可以计算到小数点后几万亿位。

这些年来e的近似值的位数，维基百科。

在我们试图理解它的存在时，会产生更多的问题。

第三个，泰勒级数

对于上面的e，泰勒级数为：

e的一次方等于多少：

我们知道这个级数是收敛的，收敛于超越常数e。另一个类似的级数是调和级数：

调和级数

你可能会觉得这个级数也是收敛的。前一百万项的总和大约是14.8。但是如果我们假设调和级数收敛，收敛于S：

那么：

但：

因此：

这是不可能的。因此，我们知道这个级数是发散的。然而，在1914年，A.J.肯普纳（A.J. Kempner）发表了一篇题为“一个奇怪的收敛级数”的论文，证明了调和级数：

稍微修改一下，实际上是收敛的。即去掉分母中包含“9”的值的调和级数。起初，肯普纳认为这个级数的上限应该在80以下。从那时起，进一步研究表明该序列收敛到略低于23的值，约为22.92067。当你第一次思考它的时候，这是非常奇怪的。

从发散的级数中删除一些元素，最终会使级数收敛。但是，大多数三位数的分母值都包含“9”，这使得这个级数的收敛速度还不够快。但这显然引出了一个问题，你能从调和级数中删除的最小元素的数量是多少才能使它收敛？

第四个，拉马努詹求和

如果你用计算器，开始加1 + 2 + 3 + 4 + 5，一直加下去，你会认为你会得到一个非常大的正数。

但让我告诉你一些完全违背直觉的事情：

这意味着，如果你把所有自然数相加，你会得到：

首先，我们需要一些铺垫：

让我们从第三个求和N₂（N_2，下标可能不显示）开始。如果1和-1个数的和是偶数，从对称性得知N₂=0；如果是奇数，结果就是1，然后我们取平均值，是1/2。

现在让我们来看看我们的N_1，也就是上面的第二个求和。具体来说，我们把和乘以2：

正如你所看到的，如果我们把上面的计算式上下一一相加，我们得到：

我们已经知道N_2= 1/2 ，所以N_1= 1/4,所以现在我们基本上有了所有我们需要的东西来实现这个数学奇迹。

让我们看看第一个求和N，从N_1中减去它，得到：

我们已经知道N_1=1/4，所以：

所有自然数的和是-1/12！（当然，这是荒谬的），欢迎留言指出这个推导过程的问题所在。